UNIDAD I

NÚMEROS Y OPERACIONES ARITMÉTICAS

 

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

LOS NUMEROS REALES

 ANTECEDENTESMucho antes que se inventara la escritura el hombre empezó a rayar y a tallar muescas en varas para indicar cantidades. Tales marcas fueron el origen de los numerales y los sistemas de numeración.

 Cada cultura importante desarrolló un sistema de numeración ( numerales y métodos de contar ) de ello se tienen importantes vestigios y así se pueden contar los siguientes sistemas:  

 Los numerales utilizados hoy en día provienen de la India, introducidos por los árabes a Europa a través de España. El aspecto original ha sufrido la evolución natural por el tiempo.

 

 Distintas clases de números

 Los números naturales N = {1, 2, 3, 4...} son obtenidos como una necesidad práctica del hombre primitivo para contar sus pertenencias.

 El hecho de tener que socializarse y el alto nivel de cooperación tiene como consecuencia las relaciones comerciales, es cuando aparecen las nociones del "haber y deber". Se habla entonces de números positivos ( el haber ) y de números negativos ( el deber ). A partir de ello tenemos el conjunto de los números enteros

Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.

 A partir de que el hombre se vuelve sedentario surge la necesidad de delimitar territorios lo cual deviene en el problema de medir distancias. Aquí es donde se obtienen cantidades fraccionarias: , etc. Estos son números racionales y  como se ve, son cocientes ( quotient )

 Se puede observar que un cociente es la división de cualquier numero entero entre cualquier otro numero entero.

          donde p y q son números enteros. ( Siempre que q ≠ 0 )

 

A todo numero con tales características se le llama numero RACIONAL  (  Q  ).

 De lo anterior se puede establecer que un número entero del conjunto Z, es también un numero racional puesto que se puede escribir como un cociente, por lo que también pertenece al conjunto de Q

 Entonces podemos establecer que:

                                    N = {1, 2, 3, ...}

                                    Z = {.... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ....}                                                                                       - zahl en alemán: significa entero

                            Q = {p/q, donde p y q son nùmeros enteros y q es distinto de cero}                      - quotient         significa cociente

 

Las operaciones que se efectúan cotidianamente solo requieren de los números contenidos en los conjuntos anteriores, por las capacidades propias del hombre en su contemplación de la naturaleza.

A los griegos les causa gran impacto la naturaleza de inconmensurabilidad de ciertos números, es decir hay números que no cumplen con las condiciones de los números racionales, éstos se llaman números Irracionales ( I ).

Se define entonces a los números Irracionales como aquel numero que es distinto a un racional

Como resultado de lo anterior podemos establecer un hecho fundamental: todo numero es o RACIONAL o IRRACIONAL, pero ambos pertenecen a los números REALES, ( R ) de esa manera se tiene completa la recta de números reales.

 

PROCESO DE CONTAR

 Recordemos que los números naturales son los enteros positivos y que los representamos por N; así que

N = { 1, 2, 3, 4, . . . }

Los números naturales fueron el primer sistema de números que se formó y se les usaba primordialmente para contar, es así que cuando asociamos conjuntos de números naturales sucesivos con los objetos de un conjunto cualquiera, estamos realizando el proceso de contar.

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ORTOGRAFÍA DE LOS NÚMEROS ORDINALES

 

10º

11º

12º

13º

14º

15º

16º

17º

18º

19º

Primero

Segundo

Tercero

Cuarto

Quinto

Sexto

Séptimo

Octavo

Noveno

Décimo

Undécimo

Duodécimo

Decimotercero

Decimocuarto

Decimoquinto

Decimosexto

Decimoséptimo

Décimo octavo

Decimonoveno

20º

30º

40º

50º

60º

70º

80º

90º

100º

200º

300º

400º

500º

600º

700º

800º

900º

1000º

2000º

Vigésimo

Trigésimo

Cuadragésimo

Quincuagésimo

Sexagésimo

Septuagésimo

Octogésimo

Nonagésimo

Centésimo

Ducentésima

Tricentésimo

Cuadrigentésimo

Quingentésimo

Sexcentésimo

Septingentésimo

Octogentésimo

Noningentésimo

Milésimo

Dumilésimo

 

 

SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

NUMERALES DEL SISTEMA DECIMAL. Son los signos que se emplean para representar los números, y podemos poner estos signos en correspondencia biunívoca con los dedos de las manos, ya que los dos conjuntos son equivalentes y se les llama cifras, guarismos o dígitos y son los siguientes:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

NUMERO DIGITO es el que consta de una sola cifra.

Ejemplo:  2, 3, 7, 8, 9, etc.

NUMERO POLIDÍGITO es el que consta de dos o más cifras.

Ejemplo:  24, 137, 3045, etc.

NOTA : El cero recibe el nombre de cifra no significativa o cifra auxiliar y las demás son cifras significativas.

 

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DEL SISTEMA DECIMAL

 1.      Dos unidades de un orden forman una del orden inmediato superior.

2.      Toda cifra escrita a la izquierda de otra representa unidades menores que las que representa esta.

3.      Con diez cifras ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ) se pueden escribir todos los números.

 BASE DEL SISTEMA DECIMAL. Como su nombre lo indica, el sistema decimal tiene como base el número diez, es decir, agrupamos el número dado en subconjuntos de diez elementos cada uno; se ve claramente en que 10 unidades forman una decena, 10 decenas forman una centena, 10 centenas forman un millar, etc.

 NOMENCLATURA. El sistema de numeración decimal consta de períodos, clases o grupos, órdenes y subórdenes.

Cada período está formado de 2 clases o grupos y cada grupo está formado de 3 órdenes, es decir, el 1 es la unidad de primer orden, la decena es la unidad de segundo orden, la centena es la unidad de tercer orden, y estos tres órdenes forman el primer grupo de las unidades, la unidad de millar es el cuarto orden, la decena de millar es el quinto orden, la centena de millar es el sexto orden y estos tres órdenes más forman el segundo grupo de las unidades y estos dos grupos forman a su vez el período de las unidades y así sucesivamente.

 

REGLA  PARA LEER Y ESCRIBIR CON PALABRAS UN NÚMERO.

Para leer un número se divide en períodos de seis cifras, empezando por la derecha, colocando entre el primero y segundo periodo el número 1, entre el segundo y el tercero el número 2, entre el tercero y el cuarto el número 3, y así sucesivamente. Luego estos periodos de seis cifras se dividen a su vez por medio de una coma en dos grupos de tres cifras. Después de haber hecho esto se procede a la lectura del número empezando por la izquierda, poniendo la palabra trillón donde haya un tres, billón donde haya un dos, millón donde haya un uno y mil donde se encuentre una coma.

 Ejemplos:

 a)                 Leer y escribir el número 132404

Como este número está compuesto solamente de seis cifras, es decir de un período, únicamente lo dividimos en dos grupos de tres cifras cada uno, como sigue:

132, 404

El 132 está en el grupo de los miles de unidad y el 404 en las unidades de unidad y por lo tanto lo leemos:

 Ciento treinta y dos mil cuatrocientos cuatro

 

b)                Leer y escribir el número 463107105

 Lo dividimos de la siguiente manera:

463, 107, 105

Y lo leemos:

Cuatrocientos sesenta y tres millones, ciento siete mil ciento cinco.

 

SUBÓRDENES.

Después del punto decimal el número se divide igualmente en períodos de seis cifras; estos períodos se dividen a su vez en dos grupos de tres cifras cada uno y estos grupos se dividen en subórdenes.

 

REGLA PARA LEER Y ESCRIBIR CON PALABRAS LOS NÚMEROS DECIMALES.

Para leer un número decimal procedemos a leerlo como si fuera un número entero dándole la denominación del último suborden. Si el número está formado de parte entera y parte decimal, leeremos primero la parte entera del número y a continuación la parte decimal.

 Ejemplos:

 a)                 Leer  y escribir el número 0.0736

Se observa que la última cifra ( el seis ) está colocada en el suborden de las diezmilésimas, por lo tanto, leeremos el número como sigue:

Setecientos treinta y seis  diezmilésimas.

 

b)                Leer y escribir el número 0.72045

Vemos que la última cifra, ( el cinco ) está colocada en el suborden de las cienmilésimas, por lo cual el número se leerá:

Setenta y dos mil cuarenta y cinco cienmilésimas.

 

REGLA PARA ESCRIBIR UN NÚMERO.

Se van anotando las unidades que correspondan a cada orden, comenzando por las superiores, poniendo un cero en los órdenes en que no haya unidades y separando con un punto los órdenes de los subórdenes.

 Ejemplos:

a)                 Escribir el número catorce mil treinta y tres.

Lo escribiremos de la siguiente manera:

14,033

Donde vemos que cada cifra ocupa el lugar correspondiente al orden que representa:  1 decena de millar, 4 millares, 3 decenas y 3 unidades, y como no había centenas en este número hemos puesto un cero en el lugar correspondiente al orden de las centenas.

 

b)                Escribir el número catorce milésimas.

El número se escribirá:

0.014

Donde vemos que del punto decimal hasta las milésimas hay tres subórdenes para ser ocupados por cifras, pero como el número catorce sólo tiene dos cifras, por lo tanto el suborden de las décimas queda desocupado y ponemos un cero en este suborden después del punto decimal.

 

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES

Al realizar operaciones con los números reales ( R ) debemos tomar en cuenta las siguientes consideraciones:

        Si sumamos dos números con el mismo signo, se realiza la suma y el resultado lleva el mismo signo de los números utilizados:

 

7 + 8 =  15

- 13 - 2 = - 15

45.1 + 23 = 68.1

- 3.2 - 12 = - 15.2

   

         

         Al sumar dos números con signo contrario, los restamos y al resultado le ponemos el signo del número con mayor valor absoluto:

 

   - 5 + 3 = - 2

-  8 + 14 =  6

3.5 - 8.3 = - 4.8

10.1 - 7.6 = 2.5

                  

 

REGLA DE LOS SIGNOS

La regla de los signos se aplica cuando realizamos el producto entre números reales o cuando quitamos paréntesis.

Para el producto se aplica de la siguiente forma:

  -     Si multiplicamos dos números que tienen el mismo signo, el producto obtenido es de signo positivo:

 

( - 5 ) ( - 3 ) = 15

( 8 ) ( 21 ) = 168

( - 1.1 ) ( - 3.2 ) = 3.52

( 4.9 ) ( 2.01 ) = 9.849

 

  -      Al multiplicar dos números de diferente signo, el producto es negativo:

                                   

( 4 ) ( - 7 ) = - 28

( - 21 ) ( 3 ) = - 63

( 2.3 ) ( - 3 ) = - 6.9

( - 1.25 ) ( 2 ) = - 2.5

 

ELIMINACIÓN DE PARÉNTESIS

Cuando realizamos operaciones donde aparecen paréntesis precedidos por signos ( + ó - ), debemos considerar lo siguiente:

 

- Si un signo negativo antecede a un paréntesis, se elimina el paréntesis cambiando el signo de todos los términos que están incluidos en él.

- [ 2 - 3 + 8 ] = - 2 + 3 - 8 = - 7

- { a - b + c } = - a + b - c

- Cuando un signo positivo aparece antes de un paréntesis, se elimina el paréntesis considerando a los términos del interior sin afectar su signo.

+ { 13 - 11 - 2 } = 13 - 11 - 2 = 0

+ [ -a + b - c ] = - a + b - c

 

ORDEN DE PRIORIDAD EN LAS OPERACIONES

Cuando realizamos operaciones que combinan sumas, multiplicaciones, potencias, raíces, el orden que se considera es:

     1 ) Eliminar paréntesis

     2 ) Elevar las potencias

     3 ) Realizar productos

      4) Realizar las sumas

EJEMPLO:

        { -5(-3) + 3( 8 - 4) -6(4) - [ 7(4) - 4 ] }

       a ) Eliminamos los paréntesis:

            -5(-3) +3(8 - 4) -6(4) - 7(4) + 4

 

       b ) Realizamos los productos:

            15 + 24 - 12 - 24 - 28 + 4

 

       c ) Hacemos las sumas:

             15 + 24 - 12 - 24 - 28 + 4 = -21