UNIDAD II

VARIACIÓN PROPORCIONAL
Y FUNCIONES LINEALES


Uno de los objetivos al resolver problemas de cualquier tipo, es encontrar ecuaciones llamadas modelos matemáticos, que sean capaces de describir el comportamiento del problema y sean aplicables a fenómenos reales.

Los modelos matemáticos se pueden desarrollar en dos formas básicas, tanto experimental como teóricamente. Para modelos que se desarrollan en forma experimental, por lo general se cuenta con un grupo de valores de x y de y, y después se ajustan a una curva o línea los puntos ( x ,y ).

Algunos problemas de este tipo se resuelven como modelos relacionados con la variación, que puede ser proporcional directa, directa como enésima potencia, proporcional inversa, y conjunta.

En esta unidad nos interesan particularmente las variaciones proporcionales directa e inversa.



Variación proporcional directa

En el modelo matemático para variación proporcional directa, y es una función lineal de x, esto quiere decir que:

Para establecer un modelo matemático, se deben usar valores específicos de x y y para hallar el valor de la constante k.

En la Variación proporcional directa, son válidos los siguientes enunciados:

a) y es directamente proporcional a x.
b) Si una variable aumenta, la otra también aumenta.
c) Si una variable disminuye, la otra también disminuye.
d) y = kx para alguna constante k.

Ejemplo.
La Ley de Hooke para un resorte establece que el tamaño de su alargamiento o compresión ( d ) varía directamente según la fuerza ( F ) que se le aplique.

Si una fuerza de 20 libras alarga el resorte 5 pulgadas:
a) Escribe una ecuación que relacione la distancia alargada con la fuerza aplicada.
b) ¿Cuánto alargará el resorte una fuerza de 24 libras ?

Solución:
1) Definición de las variables y modelo a utilizar
En apariencia, no hay relación con las variables x y y, que siempre hemos manejado. Sin embargo, recuerda que x es la variable independiente y y la dependiente. En éste problema ¿cuál es la variable independiente?. Si el alargamiento ( variable d ) depende de la fuerza ( variable F ) que se le aplique, entonces F es nuestra variable independiente.

Es lógico también pensar que si F aumenta, d también aumenta, por lo que efectivamente se trata de un problema de variación proporcional directa, cuyo modelo, de acuerdo a las variables del problema es:

2) Cálculo de la constante de proporcionalidad k
De acuerdo a las condiciones del problema, para una fuerza F = 20 libras se produce un alargamiento d = 5 pulgadas, por lo que la ecuación es:

, o bien ,

Despejando a k de la ecuación:


3) Ecuación que relaciona las variables.

De acuerdo a lo anterior, la ecuación buscada es:

Por lo que para aplicarla, solo es necesario sustituir el valor de F proporcionado en el problema.


4) Aplicación del modelo.

Si F = 24 libras, ¿cuánto vale d?




Por lo que la respuesta al problema es 6 pulgadas.





Variación proporcional inversa

En el modelo matemático para variación proporcional inversa, y es una función de x en los siguientes términos:


Y los siguientes enunciados son válidos:

a) y es inversamente proporcional a x.
b) Si una variable aumenta, la otra disminuye.
c) Si una variable disminuye, la otra aumenta.
d) y = k / x para alguna constante k.



Ejemplo.

La Ley de los Gases enuncia que el volumen ( V ) de un gas encerrado a temperatura constante, es inversamente proporcional a la Presión ( P ).


A 294ºK, la presión de un gas es de 0.75 kg/cm2 y el volumen es de 8000 cm3.
a) Escribe una ecuación que relacione la presión con la temperatura y el volumen del gas.
b) Encuentra la presión cuando la temperatura sea de 294ºK y el volumen de 700 cm3.

Solución:
1) Definición de las variables y modelo a utilizar.

La variable independiente es el volumen ( V ), puesto que depende de la temperatura y de la presión ( P ).


Como se trata de variación proporcional inversa, el modelo a utilizar debe ser del tipo


con la definición de las variables debe quedar:

Recordando que la temperatura ( T ) se mantiene como constante.

2 ) Cálculo de la constante de proporcionalidad k

Las condiciones iniciales del problema son: a 294ºK, la presión de un gas es de 0.75 kg/cm2 y el volumen es de 8000 cm3, sustituyendo en el modelo:



Se debe encontrar el valor de la constante de proporcionalidad, de acuerdo a la siguiente expresión, que se obtiene despejando en la ecuación anterior.





3) Ecuación que relaciona las variables. Con base a k obtenida, el modelo a utilizar es:


4) Aplicación del modelo.
Si el volumen es de 700 cm3, a 294ºK ¿cuánto vale P?

en este caso buscamos P, puesto que se conoce V:

despejando a P de la ecuación, nos queda:



P = 8.56 kg/cm2






FUNCIONES LINEALES

Si dos variables x y y están relacionadas de tal modo que para cada valor admisible de x( dentro de su dominio ), le corresponden uno o más valores de y, se dice que y es una función de x.
Por lo tanto, el concepto de función implica dependencia de una cantidad con respecto a otra.
A partir de un problema en el cual se involucran cantidades que varían, se busca si existe alguna relación entre ellas. Es posible descubrir la relación si se procede con metodología.

Llenar la tabla siguiente para verificar que las variables x y y están variando linealmente.


x y x2 – x1 y2 – y1
– 1 2 0 – (–1) = 1 –1 – 2 = – 3 – 3 / 1 = – 3
0 – 1 1 – 0 = 1 – 4 – (–1) = –3 – 3 / 1 = – 3
1 – 4 2 – 1 = 1 –7 – (– 4) = – 3 – 3 / 1 = – 3
2 – 7 2 – 1 = 1 –7 – (– 4 )= – 3 – 3 / 1 = – 3
3 –10 3 – (–1) = 4 –10 – 2 = –12 –12 / 4 = – 3


Observando la última columna de la tabla, se aprecia que hay variación lineal.

Si existe variación lineal, la figura geométrica que representa la relación entre las variables x y y es una línea recta.
Localizando cada punto de coordenadas (x, y ) de la tabla en el plano cartesiano y uniéndolos se tiene:




Se obtuvo una línea recta.

Definición de pendiente: Dados dos puntos cualesquiera, al cociente de la diferencia de ordenadas entre el cociente de diferencia de abscisas, se llama pendiente, siempre que la diferencia de abscisas sea diferente de cero. Es decir:



donde:



El valor de la pendiente de la recta es - 3.
En la gráfica el punto donde se cortan la recta y el eje b>y se le llama ordenada al origen y normalmente se representa por la letra b. Del ejemplo dado, el valor de b es –1.
La gráfica trazada es una función lineal que tiene la forma y = mx + b.
La función que representa la recta trazada es: