UNIDAD III

CONGRUENCIA Y SEMEJANZA

 

CONGRUENCIA DE COMPLEMENTOS Y SUPLEMENTOS DE ÁNGULOS CONGRUENTES

Cuando se habla de complementos y suplementos en relación a los ángulos, éstos se relacionan con respecto a 90° y 180° respectivamente. En base a ello, primeramente nos referimos a los ángulos de 90°. En la unidad enteros se mencionaron los ángulos congruentes, aquí diremos que para que se forme congruencia de complementos, tenemos que saber que significa ángulos complementarios, luego, diremos que si dos ángulos al sumarse entre ellos se obtiene 90°, entonces éstos serán ángulos complementarios.

Los ángulos a y b , al sumarse dan por suma 90°, así que ellos son ángulos complementarios

 

Una forma sencilla de visualizar esta idea es haciendo trazos geométricos, observa, las figuras de abajo:

Figura Geométrica

Enunciado

Este es un ángulo cuya medida es de 90°

 

 

 

 

Esta figura representa a los ángulos a y ángulo b

 

 

 

Estos ángulos a y b, al sumarse se verá así a + b y obtener por suma 90°, es decir a + b = 90°

Entonces, el ángulo a es complemento del ángulo b

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Y el ángulo b es complemento del ángulo a

 

La otra forma de visualizarlos, en forma geométrica, consiste en buscar en esos trazos si al sumar los dos ángulos nos dé 90°; es decir

 

 

 

 


 

Si los sumamos, lo que obtenemos es 100°,  entonces, no son ángulos complementarios

 

Estos dos ángulos, al sumarse nos dan 90°; entonces son ángulos complementarios

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Estos dos ángulos, son complementarios, pues suman entre ellos 90°

 

Nota:

No importa cómo estén colocados los ángulos, lo importante es que te des cuenta de que si esos dos ángulos dan por suma 90°, entonces irremediablemente son ángulos complementarios.

  

De manera similar, al referirnos a suplementos de ángulo congruentes, primero trataremos de ubicarnos en lo que son ángulos suplementarios. Dos ángulos son suplementarios, si la suma de éstos nos da 180° o el equivalente, es decir 2π radianes. Al mirarlos en figuras geométricas, pueden encontrarse en diferentes formas a saber:

a) Primera forma

 

 

Aquí, los ángulos a y b son suplementarios, pues la suma a + b es igual a 180°. Es decir a + b = 180°

 

Estos ángulos están separados; sin embargo, la suma de los ángulos a y b dan por resultado 180°, entonces los ángulos a y b son suplementarios

b) Segunda forma

c) Tercera forma

Los ángulos a y b están colocados de esta forma; ahora fíjate bien: Si la suma de los ángulos a y b dan 180°, entonces éstos son suplementarios.

 

 d) Cuarta forma

 

De las figuras anteriores, se puede decir que NO importa en que posición estén colocados los ángulos a y b; es suficiente de que éstos sumen 180° par,a que sean suplementarios. Es decir, pueden estar en diferentes posiciones ( ver recuadro ) y todos son suplementarios.

 

 

 

 

 

 

 

          a + b = 180°

 

 

 

 

 

 

            a + b = 180°

 

 

 

 

 

                 a + b = 180°

 

 

 

 

 

              a + b = 180°

 

 

 

 

 

           a + b = 180°

 

 

 

 

 

          a + b = 180°

 

Nota

Cuando dos ángulos a y b suman 180°, entonces decimos que el ángulo a es suplementario del ángulo b, o que el ángulo b es suplementario del ángulo a.

Ahora, si, podemos hablar acerca de la congruencia de los complementos de dos ángulos. Esta congruencia de complementos se ve en los triángulos que se forman al trazar una de las diagonales en un rectángulo. Veámoslo en pasos:

Figura Geométrica

Nombre de la figura geométrica

 

 

Rectángulo

 

 

El mismo rectángulo y la línea negra es una diagonal

 

 

La diagonal, nos hace ver que hay dos triángulos

 

 

 

Los dos triángulos se han separado para verlos mejor

 

 

 

Se le han puesto nombres a dos ángulos de cada triángulo

 

 

La suma de los ángulos a y b da 90° es decir a + b = 90°; así que a y b son complementarios

 

 

La suma de los ángulos c y d da 90° es decir c + d = 90°, así que c y d son complementarios

 

Congruencia de suplementos

Figura Geométrica

Acción

 

 

 

 

 


 

Las dos rectas son perpendiculares

 

 

 

Las letras a y b están denotando los dos ángulos que se forman con las rectas perpendiculares

  

Figura Geométrica

Acción

 

 

 

Los ángulos a y b se han separado para una mejor observación

 

 

 

Los ángulos a y b son suplementarios y además iguales

 

CONGRUENCIA DE ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE

Figura Geométrica

Acción

 

 

 

Un par de rectas que se intersectan en un punto, forman dos ángulos opuestos por el vértice. ( a y b )

Cuadro de texto:  c

 

 

 

 

 

Consideremos el ángulo c, si hacemos b + c vemos que son suplementarios, es decir, suman 180º.

b + c = 180º

Cuadro de texto:  c

 

 

 

 

 

Ahora consideremos c + a, observa que también son suplementarios porque suman 180º.

a + c = 180º

 

 

 

Si:

b + c = 180º

a + c = 180º

Entonces:

b + c = a + c

Por lo tanto:

a = b

“Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales”

 

CONSTRUCCIÓN DE LA RECTA PARALELA A OTRA POR UN PUNTO DADO

Pasos

Figura Geométrica

Procedimiento

1

                                              

 


 

Una recta y un punto exterior a dicha recta

2

 

 

 

Trazar un segmento de recta de forma que pase por el punto exterior y toque la recta

 

 

3

 

 

 

 

Fijarse en el ángulo a para hacer lo siguiente

 

 

4

 

 

Construir ese ángulo “a” en el punto exterior, es decir es el ángulo suplementario del ángulo original

 

 

5

 

Prolongar ese segmento de recta. La recta paralela está construida

 

 -          Postulado de las rectas paralelas

Figura geométrica

El Postulado de las rectas paralelas

 

 

Por un punto exterior pasa una y solo una recta paralela a una recta dada

 

Nota:

Estas rectas tienen la particularidad de que por más que se prolonguen en ambos sentidos nunca se llegarán a cruzar

 

 CONGRUENCIA DE ÁNGULOS ENTRE RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE

 Antes de mencionar los diferentes tipos de ángulos que se forman, con las rectas paralelas y la recta secante, primero veremos geométricamente que es una recta secante entre rectas paralelas

Figura geométrica

Qué me indica la figura

 

 

 

 

 


 

Esto representa un par de rectas paralelas

 

 

 

 

 

Juntando la dos rectas paralelas y una recta que corte a las anteriores.

 

Figura geométrica

Qué me indica la figura

 

 

 

La recta que no es paralela a las otras dos, se llama recta secante

 

Nombre de los diferentes tipos de ángulos que se forman con las rectas paralelas y la recta secante. Tienen un nombre, y a continuación los indicaremos en forma geométrica, se sugiere al lector que no los tome a la ligera.

Figura geométrica

Nombre del ángulo

Observación importante

 

 

 

 

Los ángulos a y b se llaman alternos internos

 

Los ángulos son iguales, es decir

               a = b

Los ángulos c y d se llaman alternos externos

 

Los ángulos son iguales, es decir      c = d

Cuadro de texto: e

 

 

 

Los ángulos e y f se llaman correspondientes

 

Los ángulos son iguales. Es decir e = f

 

TRIÁNGULOS

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Criterios de congruencia..

Los criterios de congruencia de triángulos son tres y se conocen con los símbolos LAL, ALA y LLL, donde las letras L y A significan lado y ángulo respectivamente.

 

Criterio LAL 

FIGURA GEOMÉTRICA

AFIRMACIÓN

 

 

 

 

 

  

 

Se tienen los triángulos ABC y DEF.

 

 

 

    

 


El lado AC es igual al lado DF

 

AC = DF

 

 

 

 

  

 

 

El ángulo A es igual al ángulo D

 

A = D

 

 

 

 

 

 

  

 
 

El lado AB es igual al lado DE

 

 AB = DE

 

 

 

 

 

  

 

Considerando las tres afirmaciones anteriores en una sola figura geométrica se tiene:

Lado AC = Lado DF

Angulo A = Angulo D

Lado AB = Lado DE

CONCLUSIÓN: CUALQUIER PAR DE TRIÁNGULOS SON IGUALES SI TIENEN DOS LADOS Y EL ÁNGULO COMPRENDIDO ENTRE ELLOS RESPECTIVAMENTE IGUAL POR EL CRITERIO LADO ANGULO LADO ( LAL )

 

 

Criterio ALA 

FIGURA GEOMÉTRICA

AFIRMACIÓN

 

 

 

 

 

 

 

Se tienen los triángulos ABC y DEF

 

 

 

 

  

 

 

El ángulo A es igual al ángulo D.

 

A = D

 

 

 

   

 

 

Los lados AB y DE son iguales

 

AB = DE

 

 

 

 

 

  

 
 

Los ángulos B y E son iguales

 

B = E

 

 

 

 

 

  

 

Considerando las tres afirmaciones anteriores en una sola figura geométrica se tiene:

Angulo A = Angulo D

Lado AB = Lado DE

Angulo B = Angulo E

CONCLUSIÓN: CUALQUIER PAR DE TRIÁNGULOS SON CONGRUENTES O IGUALES SI TIENEN UN LADO IGUAL, Y RESPECTIVAMENTE IGUALES LOS ÁNGULOS ADYACENTES A ESE LADO POR EL CRITERIO ANGULO LADO ANGULO ( ALA )

 

Criterio LLL 

FIGURA GEOMÉTRICA

AFIRMACIÓN

 

 

 

 

  

 

Se tienen los triángulos ABC y DEF

 

 

 

 

  

 

El lado AC  es igual al lado DF.

 AC = DF

 

 

 

 

 

 

Los lados AB y DE son iguales

 

AB = DE

 

 

 

 

  

 
 

Los lados BC y EF son iguales 

BC = EF

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Considerando las tres afirmaciones anteriores en una sola figura geométrica se tiene:

Lado AC = Lado DF

Lado AB = Lado DE

Lado BC = Lado EF

 

CONCLUSIÓN: CUALQUIER PAR DE TRIÁNGULOS QUE TIENEN SUS TRES LADOS RESPECTIVAMENTE IGUALES, SE DICE QUE SON IGUALES ENTRE SÍ POR EL CRITERIO LADO LADO LADO ( LLL )

 

 

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

 Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente iguales y sus lados proporcionales. El símbolo de semejanza es   ~

 Criterios de semejanza de triángulos.

Los criterios de semejanza de triángulos son tres y se conocen con los símbolos AA, LAL y LLL, donde las letras A y L significan ángulo y lado respectivamente.

 

Criterio AA

FIGURA GEOMÉTRICA

AFIRMACIÓN

                                       

 

 

 

  

 

 

Se tienen los triángulos ABC y DEF

 

 

 

 

 

 

 

 

El ángulo A es igual al ángulo D

 A = D

 

 

 

 

 

  

 

 

El ángulo B es igual al ángulo E

 

B = E

 

 

 

 

 

 

 

 

 Como tenemos que:

ángulo A = ángulo D

y

ángulo B = ángulo E

Entonces:

ángulo C = ángulo F

Por lo tanto:

ABC ~ DEF

CONCLUSIÓN: CUALQUIER PAR DE TRIÁNGULOS QUE TENGAN DOS ÁNGULOS RESPECTIVAMENTE IGUALES, SE DICE QUE SON SEMEJANTES POR EL CRITERIO ANGULO - ANGULO ( AA )

 

Criterio LAL 

FIGURA GEOMÉTRICA

AFIRMACIÓN

 

 

 

 

  

 

Se tienen los triángulos ABC y DEF

 

 

 

 

 

 

 

 

El lado AC es proporcional al lado DF y BC es proporcional a EF

 

 

 

 

 

  

 

 

El ángulo C es igual al ángulo F

 

C = F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Considerando las afirmaciones anteriores en una sola figura geométrica se tiene:

 

 

Angulo C = Angulo F

 

Por lo tanto:

ABC ~ DEF

 

CONCLUSIÓN: CUALQUIER PAR DE TRIÁNGULOS QUE TIENEN DOS LADOS PROPORCIONALES E IGUAL EL ÁNGULO COMPRENDIDO SON SEMEJANTES ENTRE SÍ.

 

Criterio LLL 

FIGURA GEOMÉTRICA

AFIRMACIÓN

 

 

 

 

  

 

 

Se tienen los triángulos ABC y DEF

 

 

 

 

 

 

 

El lado AC  es proporcional al lado DF.

 

 

 

 

 

 

 

  

 


 

Los lados BC y EF son proporcionales

 

 

 

 

 

 

 

Los lados AB y DE son proporcionales

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Considerando las tres afirmaciones anteriores en una sola figura geométrica se tiene:

 Por lo tanto:

ABC ~ DEF

CONCLUSIÓN: CUALQUIER PAR DE TRIÁNGULOS QUE TIENEN SUS TRES LADOS CORRESPONDIENTES PROPORCIONALES ENTRE SÍ, SON SEMEJANTES.

 

TEOREMA DE PITÁGORAS 

EN TODO TRIÁNGULO RECTÁNGULO, EL CUADRADO DE LA LONGITUD DE LA HIPOTENUSA ES IGUAL A LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LAS LONGITUDES DE LOS CATETOS.

 

 

 

 

 

 

DEMOSTRACIÓN:

El propósito de la demostración es probar que el teorema de Pitágoras es válido para todos los triángulos rectángulos. El triángulo mostrado en la figura anterior podría ser cualquier triángulo ya que las longitudes de sus lados no están especificadas, sino representadas por las letras x, y,  z.

En la figura se combinan cuatro triángulos rectángulos idénticos con un cuadrado interior de lado z para construir un cuadrado mayor. El área de este cuadrado es la clave de la demostración.

El área del cuadrado se puede calcular de dos formas:

Método 1.  Medir el área del cuadrado incluyendo todos sus elementos. La longitud de cada lado es ( x + y). Por lo tanto, el área del cuadrado grande es:

A = (x + y)2

Método 2. Medir el área de cada elemento del cuadrado grande. El área de cada triángulo es:

( base )( altura )

El área del cuadrado interior es z2.

Por lo tanto, el área del cuadrado grande  es 4 veces el área del triángulo pequeño más  el área  del cuadrado interior

A = 4 (   xy )  + z2.

Los métodos 1 y 2 dan dos expresiones diferentes. Sin embargo, estas son equivalentes ya que representan la misma área. Por ello,

 (x + y)2  =  4 ( x y ) + z2

Desarrollando las expresiones y simplificando:

x2 + y2 + 2xy  =  2xy + z2

Si restamos a ambos miembros de la igualdad el término 2xy, la ecuación se reduce a:

 

x2 + y2  =  z2

¡QUE ES EL TEOREMA DE PITÁGORAS!

La argumentación se basa en el hecho de que el área del cuadrado mayor debe ser la misma sin importar qué método se usa para calcularla. Entonces, por medio de la lógica, obtenemos dos expresiones para la misma área, las igualamos, y finalmente la conclusión inevitable es que x2 + y2 = z2 , es decir, el cuadrado de la hipotenusa, (z2), es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, x2 + y2.

Este razonamiento es válido para todos los triángulos rectángulos. Los lados del triángulo en nuestro razonamiento están representados por x, y, z, y pueden, por lo tanto, representar los lados de cualquier triángulo rectángulo.

Aplicando el Teorema de Pitágoras a la siguiente figura, podemos calcular el valor de la Diagonal ( D )

 

 D 2 = c 2 + d 2


d 2 = a 2 + b 2

 D2 = a2 + b2 + c2

 

Teorema de Pitágoras en el espacio

 Observa detenidamente la figura y comprueba que es cierto.

 

EJERCICIOS DIVERSOS

 

Las rectas son paralelas. Hallar el valor de x

 

 

 

 

 

 

Como son ángulos suplementarios:

 ( 3x – 2 ) + ( 6x – 8 ) = 180º

 Resolviendo la ecuación:

9x – 10 = 180

9x = 190

 x = 21.11

Calcular los valores de x y de y

 

 

 

 

 

 

 

Los ángulos de 106º y 2x + 6 son IGUALES por ser correspondientes, entonces:

 

( 2x + 6 )  = 106º

2x = 100

 x = 50º

Nótese que el suplemento del ángulo 106º y el ángulo 3y -7 son también correspondientes.

Entonces:

 ( 180 – 106 ) = 3y – 7

 81 = 3y

 y = 27

 

Calcula los valores a,b,c y d para la siguiente figura. L1 y L2 son paralelas

 

 

 

 

 

 

 

 

Observar que a y el ángulo de 50º son opuestos por el vértice, por lo tanto:

 a = 50º

 El ángulo d es alterno externo con el ángulo a, entonces: 

d = 50º

El ángulo de 125º es correspondiente con ( a + b ), entonces: 

a + b = 125º

pero a = 50º, sustituyendo:

50 + b = 125º

b = 75º

El ángulo c es opuesto por el vértice con el ángulo b:

c = 75º

 

 Indicar por qué son congruentes los triángulos siguientes:

 

 

 

 

La figura nos indica que los lados marcados con una rayita son iguales en ambos triángulos, y los que tienen doble también son iguales, además la figura también nos indica que el ángulo que forman es igual, por lo tanto:

Los triángulos son iguales por el criterio LAL

 

Los segmentos PQ y RT son paralelos, calcular el valor de x

 

 

 

 

 

 

Es un par de triángulos semejantes puesto que aplicamos los siguientes criterios:

1) El ángulo P es igual al ángulo T porque son alternos internos ( La recta PT corta a las paralelas PQ y RT )

2) El ángulo Q es igual al ángulo R por ser alternos internos ( la recta QR corta a las paralelas PQ y RT )

3) El punto común a ambos triángulos forma un ángulo igual en ambos triángulos ( son opuestos por el vértice ).

Por el criterio  Ángulo - Ángulo  los triángulos son proporcionales y podemos establecer lo siguiente:

Las razones se establecen de un triángulo a otro, el lado que mide 2 corresponde al de 6, el de 6 corresponde al de 18 y el de 4 corresponde al lado x, entonces es válido el razonamiento anterior.

Si consideramos solo una igualdad:

El valor de x es entonces:

x = 12

 

Demostrar que la suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180º

1) Dibujemos un triángulo cualquiera y nombremos sus ángulos:

 

 

 

 

 

2) Tracemos una recta paralela al lado AB  que pase por el punto C del triángulo. Llamemos d y e los ángulos formados

 

 

 

 

3) Analizando los ángulos, podemos realizar las siguientes afirmaciones:

El ángulo A es igual al ángulo d porque son alternos internos

El ángulo B es igual al ángulo e porque son alternos internos

Si sumamos los ángulos d,  C,  y  e:

d + C + e = 180º porque los ángulos son suplementarios

4) Ahora podemos establecer la conclusión:

"La suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180º "