UNIDAD V

ELEMENTOS DE TRIGONOMETRÍA

Recordemos que el plano cartesiano esta dividido en cuatro cuadrantes como se ilustra en la figura siguiente:

  

                                                                    

 

 

 

 

                                                                

                                                                                     

 

 Ángulos de rotación.- En trigonometría la magnitud de un ángulo depende de la magnitud de rotación, este ángulo puede ser positivo o negativo.

 Sea  la distancia  OA la posición inicial, si dicho lado se mueve en sentido de las manecillas del reloj el ángulo es negativo, pero si el lado se mueve en sentido contrario de las manecillas del reloj este ángulo es positivo.

 

 

 

      
                                                                                    

                                                                                                                                                                                     

Los ángulos se designan frecuentemente por medio de las letras griegas a (alfa), b (betha), g (gamma),   d ( delta ), q (theta), j (phi), etc.

  

Medidas de un ángulo.- Las medidas de un ángulo pueden ser en grados o en radianes.

 

Un grado.- Es la magnitud de un ángulo cuyo vértice está en el centro de un circulo y cuyos lados interceptan un arco de longitud igual  a  de la circunferencia, un ángulo de un grado puede ser dividido en 60 partes iguales cada una de las cuales recibe

 el nombre de minuto; cada minuto puede ser subdividido en 60 partes iguales llamados segundos y sus símbolos son los siguientes  ° , ¢ ,²  y sirven para designar grados, minutos y segundos respectivamente.

              donde:

                                    1° = 60¢

                                   1¢  = 60²

Radián.- Un radián es la medida de un ángulo con vértice en el centro de un círculo y cuyos lados interceptan un arco de circunferencia de longitud igual al radio.    

                                                                                                          

 

 

                        

                                                                                                                                 

                       

Relación entre grados y radianes:

                                     1 radian = 57.3°

                                    1 radian = 57° 17¢ 44.80²

                                   1 radian   \  P radianes = 180°

  donde, por divisiones sucesivas:

                         90° =   radianes                           10° =   radianes

                         60° =   radianes                         180°Õ  radianes

                         45° =   radianes                         270° =   radianes

                         30° =  radianes                         360° = 2P  radianes

 

Formas de reducción al primer cuadrante.- Hay diferentes posiciones del ángulo q en los cuatro cuadrantes del plano cartesiano.

 

 

 

 

                                                                                                  GRADOS     q = b    RADIANES  q = b

 

 

 

 

 

 

                                                                                           

                                                                                        GRADOS b = 180 - RADIANES  b = P - q

 

 

 

 

 

                                                                                                           

 

                                                                        GRADOS  b = q - 180   RADIANES  b = q - P

 

 

                                                                                                                               

 

 

   

                                                                                    GRADOS b = 360 - q      RADIANES  b = 2P - q

 

 

 

 

 

 

 

LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA COMO SEGMENTO RECTILÍNEO

LA CIRCUNFERENCIA UNITARIA CON CENTRO EN EL ORIGEN  DE UN PLANO COORDENADO Y SU RELACIÓN CON LA DEFINICIÓN  DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

Las funciones trigonométricas se obtienen tomando como base al CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO O UNITARIO.

 El círculo trigonométrico o unitario es llamado así porque su radio es igual a la unidad.

r  =  1

En las siguientes actividades aumentaremos 10 veces el radio del círculo unitario, para que se puedan calcular las medidas con  mayor facilidad.

Al final, cada medida que se obtenga tendrá que dividirse entre 10 para poder obtener la medida original.

 

ACTIVIDADES

 ·      Trazar un sistema de coordenadas. Tomando como referencia al centro del sistema de coordenadas ( origen ), trazar un círculo de 10 cm. de radio  como se muestra en la siguiente figura.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Recuerda que el radio es constante a cualquier punto de la circunferencia.

 

 

 

 

 

·      Con ayuda de un transportador, medir un ángulo de 45°  ( q ) en el primer cuadrante  y trazar un segmento rectilíneo del origen  hasta tocar con la circunferencia.

   Las coordenadas de ese punto ( P ) las llamaremos  ( x, y ),  trazar ahora una perpendicular con respecto al eje x  dirigido al punto  P ( x, y ) como se muestra en la siguiente figura.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Hemos formado  un triángulo rectángulo.

Demos ahora el nombre que le corresponde a cada segmento y obtengamos la medida de cada uno de ellos ( en centímetros ).

 

LETRA

NOMBRE

MEDIDA

x

CATETO ADYACENTE

 

y

CATETO OPUESTO

 

r

RADIO

 

 

Recordemos  ahora cómo se definen cada una de las funciones trigonométricas y con base a esto, completa con la letra que le corresponda según el cuadro anterior .

FUNCIÓN

RELACIÓN CON RESPECTO A LOS CATETOS

RELACIÓN CON RESPECTO A LA LETRA QUE LE CORRESPONDA.

SENO

 

COSENO

 

TANGENTE

 

CONTANGENTE

 

SECANTE

 

COSECANTE

 

 

 

·      Podemos observar que las funciones trigonométricas son razones o relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo.

·      Auxiliándonos del triángulo que  se ha formado, completa en la siguiente tabla de acuerdo a  la medida obtenida de cada uno de los segmentos que forman el triángulo rectángulo.

·      Obtén el valor numérico y compáralo con el valor que te da la calculadora o en unas tablas trigonométricas.

( Recordar que el ángulo trazado en el circulo es de 45° )  

FUNCIÓN

RELACIÓN 

RESULTADO NUMÉRICO

VALOR OBTENIDO DE LA CALCULADORA

SENO

 

 

COSENO

 

 

 

 

TANGENTE

 

 

 

 

COTANGENTE

 

 

 

 

SECANTE

 

 

 

 

COSECANTE

 

 

 

 

 

Utilizando el circulo unitario  trazado con anterioridad completa la siguiente tabla.

GRADO

SENO

COSENO

TANGENTE

COTANGENTE

SECANTE

COSECANTE

30°

 

 

 

 

 

 

 

 

VALOR DE LA  CALCULADORA

 

 

 

 

 

 

60°

 

 

 

 

 

 

 

 

VALOR DE LA  CALCULADORA

 

 

 

 

 

 

90°

 

 

 

 

 

 

 

 

VALOR DE LA  CALCULADORA

 

 

 

 

 

 

135°

 

 

 

 

 

 

 

 

VALOR DE LA  CALCULADORA

 

 

 

 

 

 

150°

 

 

 

 

 

 

 

 

VALOR DE LA  CALCULADORA

 

 

 

 

 

 

180°

 

 

 

 

 

 

 

 

VALOR DE LA  CALCULADORA

 

 

 

 

 

 

225°

 

 

 

 

 

 

 

 

VALOR DE LA  CALCULADORA 

 

 

 

 

 

 

270°

 

 

 

 

 

 

 

 

VALOR DE LA  CALCULADORA

 

 

 

 

 

 

315°

 

 

 

 

 

 

 

 

VALOR DE LA  CALCULADORA 

 

 

 

 

 

 

330°

 

 

 

 

 

 

 

 

VALOR DE LA  CALCULADORA

 

 

 

 

 

 

330°

 

 

 

 

 

 

 

 

VALOR DE LA  CALCULADORA

 

 

 

 

 

 

360°

 

 

 

 

 

 

 

 

VALOR DE LA  CALCULADORA

 

 

 

 

 

 

 

NOTA: RECUERDA QUE PARA  MEDIR UN ANGULO DEBEMOS CONSIDERAR EL SENTIDO CONTRARIO A LAS MANECILLAS DEL RELOJ.

 SE DEBE TOMAR EN CUENTA EL CUADRANTE EN DONDE SE ESTÁ TRAZANDO EL  ANGULO Y SE FORMA EL TRIANGULO RECTÁNGULO

(  PARA LA RELACIÓN DE LOS SIGNOS, + y  - )

 

SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Considerando las funciones trigonométricas y el Teorema de Pitágoras podemos calcular los datos de triángulos rectángulos o de cualquier aplicación que pueda ser relacionada.

Si bien un triángulo consta de seis elementos: 3 ángulos y 3 lados, está perfectamente determinado si se conocen tres de ellos (siempre que uno de los datos sea un lado). Resolver un triángulo consiste en calcular 3 de los elementos cuando se conocen los otros tres.

EJEMPLO

A partir de la siguiente información, calcular los elementos que faltan.

 

 

 

 

 

Por el Teorema de Pitágoras:

a2 = b2 + c2

a = 81.21

Ahora calculemos la magnitud de un ángulo

( Puede ser cualquiera ya que conocemos la medida de todos los lados )

 Calculemos B

Por la definición de seno, (  )

 

 B = sen-1( 0.6156 )

B = 38º

Podemos aplicar otra función trigonométrica para evaluar el mismo ángulo, por ejemplo tangente

 

 B = tan-1( 0.7812) = 38º

 

Calcula el mismo ángulo ahora con la función coseno y verifica que es el mismo valor.

 El ángulo que falta lo podemos calcular con la relación:

A + B + C = 180º

( A es el ángulo recto, por lo tanto mide 90º )

 C = 180º - A – B

C = 180º - 90º - 38º  

C = 52º

Considerando el siguiente triángulo, calcula los elementos que faltan.

 

 

 

 

 

 

 

Apliquemos la función coseno para evaluar la hipotenusa del triángulo

Calculemos el segmento AB por medio del Teorema de Pitágoras:

BC2 = b2 + AB2

AB = 1.05

 

Para calcular el valor del ángulo C apliquemos:

A + B + C = 180º

C = 180º - A - B

C = 180º - 90º - 37º

C = 53º

 

 

LEYES DE SENOS  Y COSENOS Y SUS APLICACIONES A LA RESOLUCIÓN  DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

 Un triangulo oblicuángulo es todo triangulo que no es un triangulo rectángulo

  

 

 

 

 

 

Para resolver un triangulo oblicuángulo es necesario  conocer 3 elementos y es indispensable que al menos uno de ellos  sea un lado. El triángulo puede resolverse conociendo alguna de las siguientes opciones: 

       
LEY DE LOS SENOS

 SI ABC ES CUALQUIER TRIANGULO OBLICUÁNGULO DESIGNADO DE LA MANERA USUAL ENTONCES:

                                  

 

Con el siguiente problema trataremos de ilustrar la aplicación de la Ley de los Senos.

 

 PROBLEMA:

En el siguiente triángulo desea conocerse la longitud del segmento AB.

 

                                                                                

 

 

 

 

 


                                                      

Ð A = 63°20¢    ÐC = 54°10¢

 NOTA: LAS LETRAS MAYÚSCULAS  REPRESENTAN A LOS ÁNGULOS Y LAS MINÚSCULAS REPRESENTAN A LOS LADOS.

 Para conocer al ángulo B, recordemos el teorema  que dice LA SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN TRIANGULO ES 180°.

 ÐA + ÐB + ÐC = 180°

  SUSTITUYENDO TENEMOS:

 

63°20¢ + ÐB + 54°10¢ = 180°

 ÐB = 180°-117°30 

ÐB  =  62°30

 El segmento  formado por los puntos A y B lo llamaremos  c.

Aplicando la ley de  senos:

 

 DESPEJANDO  c:

 

 

 c =

 

Por lo tanto, el segmento AB es de 219.57 unidades.

 

LEY DE LOS COSENOS

ESTA LEY  SE PUEDE APLICAR SI SE CONOCEN DOS LADOS  DE UN TRIANGULO Y EL ANGULO ENTRE ELLOS. TAMBIÉN SI SE CONOCEN LOS TRES LADOS DEL TRIANGULO.

 

LEY DE LOS COSENOS:

 

 

 

 

 

 

EJEMPLOS

Un poste vertical de 40 ft. de altura se encuentra en la ladera de una colina que forma un ángulo de 17º  con la horizontal. Determinar la longitud mínima  del cable necesario para unir la parte superior del poste  con un punto  directamente abajo de la colina a 72 ft. de la base del poste.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Se requiere conocer  la distancia formada por los puntos A y C

< ABD= 90º -  17º =73º

< ABC= 180º - 73º =107º

Aplicando la ley de los cosenos al  triangulo:

 

Determinar las magnitudes de los ángulos de un triángulo cuyos lados miden  28, 34 y 40 unidades.

 

 

 

 

 

 

La Ley de los Cosenos nos dice: 

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

 ( Donde b y c son los lados que forman al ángulo A ) 

Cálculo de A:

cos A =

  

Cálculo de B: 

b2 = a2 + c2 – 2ac cos B

( a y c son los lados que forman al ángulo B )

 

B = cos-1(0.17857) = 79.72o

 Cálculo de C:

c2 = a2 + b2 – 2ab cosC

( a y b son los lados que forman al ángulo C )

 

 

C = cos-1( 0.725 ) = 43.53o

 

Para comprobar que nuestra solución es congruente, sumemos los tres ángulos calculados anteriormente, apliquemos el teorema que dice: “La suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180o 

A + B + C = 180o 

56.75o + 76.72o + 45.53o = 180o

 

 

Resolver el triángulo siguiente a partir de los siguientes datos:

 

 

 

 

 

Calculemos el lado a:

Conocemos el ángulo que forman los lados b y c ( A ), entonces podemos aplicar la siguiente fórmula:

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

 

 

a= 42.28

Ahora calculemos el ángulo B, 

Si b2 = a2 + c2 – 2ac cos B

  

 

B = cos-1( 0.7037)

 B = 45.28O

 

El ángulo C lo podemos calcular aplicando: 

A + B + C = 180O

 C = 180 O – 29.23º - 45.28º

 C = 105.49º