ECUACIONES CUADRÁTICAS Y FACTORIZACIÓN

Dado que en la Unidad 1 del curso de Matemáticas I “Variación proporcional y funciones lineales” has usado signos y símbolos de Álgebra para representar variables y constantes entre otros, así como la forma de pasar de una tabla o una gráfica a una expresión de la forma y = ax, y = ax + b o k = xy, y para continuar con ese enfoque, enunciaremos la Unidad 4 “Ecuaciones cuadráticas y factorización” con el planteamiento de la definición de función polinomial.

Una función polinomial se define por la expresión:

f(x) = anXn + an-1Xn-1 + an-2Xn-2 + ….. + a2X2 + a1X + a0

Donde:

A f(x) = 0 se le llama función polinomial “cero” no confundir con f(x) = a0, donde , que es la función polinomial de grado cero y corresponde a la función constante.

Si n = 1, la expresión queda:

f(x) = a1x + a0 = mx + b que es la ecuación general de la función lineal
Si n = 2 quedará de la siguiente forma:

f(x) = a2x2 + a1x + a0 = ax2 + bx + c que es la forma general de función cuadrática

De lo anterior concluimos que las funciones constante, lineal, cuadrática y cúbica son casos especiales de la función polinomial.

Para trazar la gráfica de una función polinomial (cuadrática como caso especial). Nos apoyamos en la solución de las raíces reales de la función, lo que se refiere a los valores de x para los cuales f(x) = 0. Es decir que geométricamente representan los puntos de intersección con el eje X, dado que en esos puntos y = 0.

Solución de problemas que conducen a ecuaciones cuadráticas extraídas de situaciones de la aritmética y geometría.

Dado el siguiente problema, resolver, graficar y analizar:

En un jardín se quiere construir un invernadero, de tal forma que se aproveche la máxima área y sus variantes en cuanto a su forma ya sea cuadrada o rectangular. Se dispone de 24 m lineales de malla para cercar el jardín. ¿Cuál es el área que se puede cercar?

Desarrollo:
Dado que el problema está relacionado con un área, es necesario recordar la forma de calcularla y al mismo tiempo relacionarla con el perímetro. Si sabemos que el perímetro para este problema es la suma de los lados del terreno a cercar y que el área es el producto del largo por el ancho, (Área = 1argo x ancho) entonces si tenemos 24 m de malla para cercar el terreno, por lo que la mitad es de 12 m (ver figura).

En seguida si denotamos como x a uno de los lados del jardín disponible y lo relacionamos con la longitud de la malla, el otro lado tendrá una medida de 12 – x (ver figura)

comprueba que   2(12 – x) + 2x = 24            

Que podemos expresar como:

Área = x(12 – x) Desarrollando el producto y ordenando términos
Área = –x2 + 12x
y = –x2 + 12x Modelo polinomial cuadrático por el exponente 2


En el modelo intervienen las variables “x” e “y”:

“x” como variable independiente
“y” como variable dependiente


esto significa que el área del jardín del problema depende de su largo o base. Así por ejemplo si la base del jardín fuera de 4 m. el área (y = – x2 + 12x) sería:

y = –(4)2 + 12(4) efectuando las operaciones
y = –16 + 48
y = 32 m2

¿ésta sería la máxima área? ¿por qué?

Si la base fuera 10 m ¿cuál sería el área?
y = –(10)2 + 12(10) y = –100 + 120 y = 20 m2

Esta forma de encontrar el área asignando valores a x la mayoría de los casos resulta complicada y muy elaborada, y no siempre se llega a la respuesta pedida, sin embargo el método de tabulación nos da la oportunidad de llegar al resultado en forma más ordenada.

Calcular el área del terreno para x = 0 y los valores que se indican en la tabla de datos


x y Al sustituir los datos
Base en m Área en m2 se obtiene:
0 0 y = –(0)2 + 12(0) = 0 + 0 = 0
1 11 y = –(1)2 + 12(1) = –1 + 12 = 11
2 20 y = –(2)2 + 12(2) = –4 + 24 = 20
3 27 y = –(3)2 + 12(3) = –9 + 36 = 27
4 32 y = –(4)2 + 12(4) = –16 + 48 = 32
5 35 y = – (5)2 + 12(5) = – 25 + 60 = 35
6 36 y = –(6)2 + 12(6) = –36 + 72 = 36
7 35 y = –(7)2 + 12(7) = –49 * 84 = 35
8 32 y = –(8)2 + 12(8) = –64 + 96 = 32
9 27 y = –(9)2 + 12(9) = –81 + 108 = 27
10 20 y = –(10)2 + 12(10) = –100 + 120 = 20
11 11 y = –(11)2 + 12(11) = –121 + 132 = 11
12 0 y = –(12)2 + 12(12) = –144 + 144 = 0

De acuerdo con la tabulación el mayor valor para el área es 36 m2 por lo tanto 6 m es la medida de la base dando un área de 36 m2

Otro método disponible es el gráfico

y = – x2 + 12x

vértice      si a = –1,           b = 12 sustituyendo



Elaborar la gráfica

x y
0 0
1 11
2 20
3 27
4 32
5 35
6 36
7 35
8 32
9 27
10 20
11 11
12 0

El vértice es la mayor de las áreas.
“Las coordenadas del vértice nos dan la solución del problema”
“La medida de la máxima área corresponde a una base máxima”

Dado el siguiente problema, resolver, graficar y analizar.
En un terreno se quiere construir un jardín, de tal forma que sea cuadrado o rectangular y se dispone de 96 m. lineales de malla para cercarlo. ¿Cuál es el área que se puede cercar?
(Trabajo extra).

Solución de ecuaciones cuadráticas: Por el método de factorización y por fórmula general.

Una ecuación cuadrática completa en x es una ecuación que se puede escribir en su forma estándar: ax2 + bx + c = 0 donde a, b y c son números reales constantes diferentes de cero.

Si b = 0 y c = 0, la ecuación es incompleta de la forma:
ax2 = 0 al extraer raíz cuadrada se tiene: , entonces resulta que: x1 = 0; x2 = 0 es decir la ecuación tiene una raíz doble.

Si b = 0 la ecuación es incompleta de la forma ax2 + c = 0 y se resuelve al extraer la raíz cuadrada de la siguiente forma: primero ax2 = –c, segundo , tercero , por lo que sus raíces son: y , esto quiere decir que a y c sean de diferente signo para tener dos raíces reales.

Si c = 0 la ecuación es incompleta de la forma ax2 + bx = 0 y se resuelve por factorización respecto a x, considerando como factor común: x(ax + b) = 0, al aplicar la propiedad del cero queda: x = 0 como primera raíz, y como segunda raíz al despejar x de (ax + b) = 0, queda:



Resolución de ecuaciones de la forma: (x-a)2 = k

Recuerde que si x2 = k entonces

Y que si


Encuentra el conjunto solución de (x -3)2 = 16

Extraer raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación, enseguida encuentra las raíces del problema despejando a x:


x – 3 = ± 4
x1 = 4 + 3
x2 = – 4 + 3
Solución x1 = 7; x2 = -1


Encuentre el conjunto solución de (2x +3)2 = 8; desarrolle en el espacio las operaciones que se le indiquen:

Sugerencia Operaciones
Extraiga raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación  
Simplifique la raíz cuadrada de ocho de la forma siguiente
 
Despeja a x, escribiendo ambas soluciones

 



Solución:

            

Para resolver la ecuación x2 + bx + c = 0 por factorización, primero encuentre los factores que son un producto de dos binomios cuyo resultado es igual con cero, (x + d) (x + e) = 0

recuerda que (x + d) = 0    y    (x + e) = 0; despeja a x

Ejemplos
Resolver por factorización la ecuación: x2 + 8x + 16 = 0, complete los términos faltantes.

Expresa el trinomio x2 + 8x + 16 = 0, como un producto de dos factores de dos binomios de primer grado con coeficientes enteros: (x +   )(x +   ), recuerda encontrar dos números cuya suma sea igual a “8” y como producto sean igual a “16”. Los números que cumplen la condición son sumados (     ) + (    ) = 8 y multiplicados (    ) (     ) = 16 por lo que la ecuación con el primer miembro factorizado es (x +   ) (x +   ) = 0, observe que los factores son:___________________, por lo que podemos escribirlo como el cuadrado de un binomio igual a cero es decir (x +   )2 = 0

Regresa a la expresión (x + 4) (x + 4) = 0, iguala cada factor a cero y despeja a “x”. Por lo tanto x1 = 4 y x2 = 4 que son raíces iguales.

Expresa el trinomio x2 – 2x – 15 = 0, como un producto de dos factores de dos binomios de primer grado con coeficientes enteros: (x +   ) (x +   ), recuerda que debes encontrar dos números cuya suma sea igual a “–2” y como producto sean igual a “–15”. Los números que cumplen la condición son sumados (    ) + (    ) = –2 y multiplicados (    ) (    ) = –15 por lo que la ecuación con el primer miembro factorizado es: (x – 5) (x + 3) = 0.

Regrese a la expresión (x – 5) (x + 3) = 0 iguale cada factor a cero y despeje a “x”. Por lo tanto x1 = 5, x2 = –3 son raíces de la ecuación.


Solución de problemas completando el cuadrado.

Resolver ecuaciones de la forma: a x2 + bx + c = 0, usando (x – a) = k

Encontrar un número para que x 2 + 14x + ____ sea trinomio cuadrado perfecto.

Sugerencias: Operaciones:
El coeficiente de x es (     )
sumar la mitad de (14) y elevar al cuadrado
X2 + 14x + ______
Factorizar X2 + 14x + 49 = (x+7)(x+7) = (x+7)2


Un trinomio cuadrado perfecto también es el cuadrado de un binomio.

Para resolver una ecuación cuadrática completando el cuadrado toma en cuenta lo siguiente:


Encontrar el conjunto solución de x2 – 3x -9 = 0 completando el cuadrado.

Sugerencias Operaciones
El coeficiente de x es (     )
obtener la mitad de (–3) y elevar al cuadrado
x2 – 3x + ____ = 9 + ___
Sumar a ambos miembros de la ecuación
factorizar el trinomio cuadrado perfecto y
realizar las operaciones correspondientes


Resuelve la ecuación tomando en cuenta lo siguiente:

Que si x2 = k entonces

Y que si

Solución: ,       


Resolver la ecuación 7x2 – 28x = 0

Factorizar por medio del factor común     7x(x -4) = 0

aplicar la propiedad del cero, si 7x 0 = entonces x = 0, es ya raíz

si x -4 = 0 sólo si x = 4

por lo tanto x1 = 0; x2 = 4 son las raíces de la ecuación.

Fórmula cuadrática o fórmula general de la ecuación de segundo grado
Al resolver ecuaciones de segundo grado de la forma ax2 + bx + c = 0 completando el cuadrado realizamos lo siguiente:

a) sumar –c a cada lado ax2 + bx = -c
b) dividir cada lado por a
c) completar el cuadrado
sumar a cada lado  
d) sumar las fracciones de lado derecho de la
ecuación tomando como MCD 4a2 factorizando
del lado izquierdo




e) al simplificar y extraer la raíz
f) despejando x




Son las raíces de la ecuación cuadrática:
Si b2 –4ac es mayor que cero, hay dos soluciones

Si b2 –4ac es igual a cero hay una solución

Si b2 –4ac es menor que cero, no hay solución



Resolver la ecuación 2x2 + 6x – 308 = 0, por fórmula general











por lo que las raíces son: x1=11; x2= –14


Resolver 3x2 + 4x – 2 = 0











Otras ecuaciones cuadráticas tienen soluciones complejas por lo que es necesario tomar en cuenta los números complejos para su solución.

Al tratar de resolver por ejemplo la ecuación x2 = –1 se extrae la raíz cuadrada queda , o . No existe número real, racional o irracional, cuyo cuadrado sea –1.

Para resolver esta dificultad se utiliza el número i, se define como: o también i2= –1

Ejemplo:

Escribir a) ;        b) en términos de i

a)    por lo que

b)     por lo que



Simplificar:

a + bi es un número complejo, su a y b son reales.


Encontrar el conjunto solución de 4x2 + 3x + 1 = 0



b2 –4ac es menor que cero



números complejos



Ejercicios propuestos:

La altura de un triángulo es 2 m. menor que la longitud de su base. El área es de 12 m.2. Encontrar la base y la altura.

El lado de un cuadrado es 3 veces mayor que el de otro cuadrado. La suma de sus áreas es de 160 cm.2. Encontrar las dimensiones de uno y otro cuadrado.

¿Cuál es el área de un cuadrado de lado x disminuido en 7 unidades?

¿Cuáles son dos números cuya suma es 5 y que la suma de sus cuadrados es 53?

¿Cuáles son las soluciones de la ecuación x(x -1) = 12?
Solución: 4 y -3

¿Cuáles son las soluciones de la ecuación 12x2 + 7x = 10?
Solución: -5/4 y -2

La suma de dos números es 23 y su producto es de 132. Encontrar dichos números.
Solución: 11 y 12

Resolver la ecuación y2 + 49 = 14y.
Solución: 7

La suma de un número y su recíproco es , ¿cuáles son los números?
Solución:

El perímetro de un rectángulo es 42 y su área es de 108 m2, ¿cuales son sus dimensiones?
Solución: 9 y 12

Por factorización resuelva la siguiente ecuación: .
Solución: 0 y

Por factorización resuelva la siguiente ecuación: .
Solución: 0 y

Por factorización resuelva la siguiente ecuación: .
Solución: 0 y

El número cuyo triple de su cuadrado más seis es igual a 438 es:
Solución: ± 12

El número cuyo cuadrado disminuido es 8 es igual a 248 es:
Solución: ± 6

Encontrar dos números enteros consecutivos cuya suma de sus cuadrados sea 61.
Solución: 5 y 6

Resolver la ecuación (2x – 1) (x –1) = 3

Encuentre el conjunto solución de (n – 3)2 = 16


Resolver las ecuaciones: